正規化で分母に出てくるΣ — チートシート（単一HTML・CORS安全）

140字要点つき・正規化Σチートシート

外部リソース不使用。MathMLで数式を描画し、非対応環境ではASCIIに自動フォールバックします。

1) 重み付き平均（L1）

$$\hat{f}=\frac{\sum _k^{}{w}_k{f}_k}{\sum _k^{}{w}_k}$$

f^ = (Σ w_k f_k) / (Σ w_k)

重みwで合成し分母∑wで正規化。ブレンド比の整合、フィルタのDC保持、fBmの平均明るさ安定に。

2) 幾何級数 S(a,n)

$$S(a,n)=\sum _{k=0}^{n-1}{a}^k=\frac{1-a^n}{1-a}\text{（a≠1）}$$

S(a,n) = Σ_{k=0}^{n-1} a^k = (1 - a^n)/(1 - a) （a≠1）

オクターブ合成の総振幅。aは層の減衰率。Sで割ると平均振幅一定。a≈1ではS≈nの近似で数値安定。

3) RMS 正規化

$$S_2(a,n)=\sqrt{\frac{1-a^{2n}}{1-a^2}}$$

S₂(a,n) = sqrt( (1 - a^{2n}) / (1 - a^2) )

振幅でなくエネルギーを揃える。S₂=√∑a^{2k}で割り分散を一定化。音・物理ベースの質感均質化に有効。

4) Softmax

$$p_i=\frac{e^{s_i}}{\sum _j^{}{e}^{s_j}}$$

p_i = exp(s_i) / Σ_j exp(s_j)

スコアを指数化し分母Z=∑e^{s}で確率化。argmaxを保ちながら滑らか重み化。数値安定はs−max(s)。

5) SNIS（自己正規化重要サンプリング）

$$\hat{\mu }=\frac{\sum _i^{}{w}_{i}f\left(x_i\right)}{\sum _i^{}{w}_i}$$

μ^ = (Σ w_i f(x_i)) / (Σ w_i)

重要度重みwで評価を合成し分母∑wで自己正規化。提案分布のズレに頑健な平均推定に用いる。

6) ヒストグラム→確率

$$p_i=\frac{c_i}{\sum _j^{}{c}_j}$$

p_i = c_i / Σ_j c_j

度数c_iを総数∑cで割り確率p_iへ。度数表を分布化する基本手順。サンプリングやKL計算の前処理。

7) 重み付き平均・分散

$$\mu =\frac{\sum _i^{}{w}_i{x}_i}{\sum _i^{}{w}_i},{\sigma }^2=\frac{\sum _i^{}{w}_i{(x_i-\mu )}^2}{\sum _i^{}{w}_i}$$

μ=(Σ w_i x_i)/(Σ w_i), σ^2=(Σ w_i (x_i−μ)^2)/(Σ w_i)

信頼度や頻度をwで反映。μ=∑wx/∑w、σ²=∑w(x−μ)²/∑w。測定統合や異質データの融合に。

8) ベクトル正規化（L2 / L1）

$$\hat{v}=\frac{v}{\sqrt{\sum _i^{}{v_i}^2}},\hat{v}=\frac{v}{\sum _i^{}\left|v_i\right|}$$

v̂ = v / sqrt(Σ v_i^2), v̂ = v / Σ |v_i|

ノルムで割って尺度を除去。L2は方向保持の標準、L1は外れ値耐性やスパース性重視の場面に有効。

備考（表示と配布について）

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