コンデンサは完全に電気を通さなくなるわけではありませんが、直流回路においては電荷が溜まると電流の流れが止まる仕組みになっています。
詳しい仕組み
充電中の挙動
コンデンサに電圧がかかると、コンデンサの両端に電荷が蓄積されます。この時、回路には一時的に電流が流れます。満充電状態
コンデンサが電源電圧と同じ電圧まで充電されると、それ以上電荷が蓄積されなくなります。直流電流に対しては、コンデンサは「絶縁体」のように振る舞い、電流が流れなくなります。交流の場合
交流回路では電圧が時間とともに変化するため、コンデンサは常に充放電を繰り返し、電流を通すことができます。したがって、コンデンサは交流に対しては抵抗のように電流を通します(この性質をリアクタンスと呼びます)。
まとめ
直流回路ではコンデンサが充電されると、それ以上電流は流れません。
交流回路では電圧が変化し続けるため、電流が流れます。
したがって、「コンデンサは電気が貯まると電流を通さなくなる」というのは直流回路に限定した話です。